Question

（2009•盧灣區(qū)二模）關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

和實(shí)數(shù)m、n的下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．若-3≤m＜n，則f（m）＜f（n）

B．若m＜n≤0，則f（m）＜f（n）

C．若f（m）＜f（n），則m²＜n²

D．若f（m）＜f（n），則m³＜n³

Answer 1

分析：觀察本題中的函數(shù)，可得出它是一個偶函數(shù)，由于所給的四個選項(xiàng)都是比較大小的，或者是由函數(shù)值的大小比較自變量的大小關(guān)系的，可先研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，再由偶函數(shù)的性質(zhì)得出在R上的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng)

解答：解：∵f(-x)=(2-x-

1

2-x

)•(-x)

1

3

=(2x-

1

2x

)•x

1

3

=f(x)
∴函數(shù)是一個偶函數(shù)
又x＞0時，2x-

1

2x

與x

1

3

是增函數(shù)，且函數(shù)值為正，故函數(shù)f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

在（0，+∞）上是一個增函數(shù)
由偶函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在（-∞，0）上是一個減函數(shù)，此類函數(shù)的規(guī)律是：自變量離原點(diǎn)越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立
考察四個選項(xiàng)，A選項(xiàng)無法判斷m，n離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近；B選項(xiàng)m的絕對值大，其函數(shù)值也大，故不對；C選項(xiàng)是正確的，由f（m）＜f（n），一定可得出m²＜n²；D選項(xiàng)f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m³＜n³，不成立
綜上知，C選項(xiàng)是正確的
故選C

點(diǎn)評：本題是一個指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題，利用其單調(diào)性比較大小，解答本題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是一個偶函數(shù)，且能判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，最關(guān)鍵的是能由函數(shù)圖象的對稱性，單調(diào)性轉(zhuǎn)化出自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立這個結(jié)論，本題考查了判斷推理能力，歸納總結(jié)能力，是函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合中綜合性較強(qiáng)的題，解題中能及時歸納總結(jié)可以順利求解此類題