Question

觀察如圖所示5個等式：照圖中式子規(guī)律：
（1）寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）通過前5個表達式，直接寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學歸納法證明步驟，直接證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N^*）

解答： 解：（1）第6個等式為-1+3-5+7-9+11=6 
…（2分）
猜想：第n 個等式為-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n …（4分）
（2）下面用數(shù)學歸納法給予證明：-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
①當n=1時，由已知得原式成立； …（5分）
②假設當n=k時，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）=（-1）^k•k 
…（6分）
那么，當n=k+1時，-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）+（-1）^k+1•（2k+1）
=（-1）^k•k+（-1）^k+1•（2k+1）=（-1）^k+1•（-k+2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）
故n=k+1時，原式也成立 …（11分）
由①②知，-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
成立…（13分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法證明猜想成立，注意證明步驟的應用，缺一不可．