Question

設(shè)M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由題意可得M表示以原點(diǎn)O為圓心，半徑等于

2

a的半圓（位于橫軸或橫軸以上的部分）．N表示以O(shè)′（1，

3

）為圓心，半徑等于a的一個(gè)圓．再由M∩N≠∅，可得半圓和圓有交點(diǎn)．當(dāng)半圓和圓相外切時(shí)，求得a的值；當(dāng)半圓和圓向內(nèi)切時(shí)，求得a的值，從而求得可得a的最大值和最小值．

解答：解：M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，即{（x，y）|x²+y²=2a²，y≥0}，表示以原點(diǎn)O為圓心，半徑等于

2

a的半圓（位于橫軸或橫軸以上的部分）．
N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，表示以O(shè)′（1，

3

）為圓心，半徑等于a的一個(gè)圓．
再由M∩N≠∅，可得半圓和圓有交點(diǎn)，故半圓和圓相且或相切．
當(dāng)半圓和圓相外切時(shí)，由|OO′|=2=

2

a+a，求得a=2

2

-2；當(dāng)半圓和圓向內(nèi)切時(shí)，由|OO′|=2=2

2

-2，求得a=2

2

+2．
故a的范圍是[2

2

-2，2

2

+2]，a的最大值為2

2

+2，最小值為2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．