Question

1．已知點P是橢圓C上的任一點，P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且$\frac{tq47hvg_{2}}{l6w6sfi_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B（A，B都在x軸上方），且
∠OFA+∠OFB=180°．
（i）當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點時，求直線l的方程；
（ii）是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總過該定點？若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則d₁=|x+2|，d₂=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，由此利用$\frac{np2t0yj_{2}}{itj86gg_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，能求出橢圓C的方程．
（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（-1，0），從而k_AF=1，k_BF=-1，直線BF的方程為：y=-（x+1）=-x-1，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得3x²+4x=0，由此能求出直線AB的方程．
（ii）k_AF+k_BF=0，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得$（{k}^{2}+\frac{1}{2}）{x}^{2}+2kx+^{2}-1=0$，由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出直線AB總經(jīng)過定點M（-2，0）．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），∵點P是橢圓C上的任一點，
P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且$\frac{jdppomv_{2}}{4k411lw_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴d₁=|x+2|，d₂=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
$\frac{ccn1cgz_{2}}{zefdjmd_{1}}$=$\frac{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}{|x+2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡，得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（-1，0），∴k_AF=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，
∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k_BF=-1，
∴直線BF的方程為：y=-（x+1）=-x-1，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得3x²+4x=0，
解得x₁=0，${x}_{2}=-\frac{4}{3}$，
代入y=-x-1，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍），或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴B（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），k_AB=$\frac{1-\frac{1}{3}}{0-（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}x+1$．
（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k_AF+k_BF=0，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
得$（{k}^{2}+\frac{1}{2}）{x}^{2}+2kx+^{2}-1=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
∴k_AF+k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{{y}_{2}}^{\;}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{x}_{1}+b}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k{x}_{2}+b}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{（k{x}_{1}+b）（{x}_{2}+1）+（k{x}_{2}+b）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0，
∴（kx₁+b）（x₂+1）+（kx₂+b）（x₁+1）=2kx₁x₂+（k+b）（x₁+x₂）+2b
=2k×$\frac{^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$-（k+b）×$\frac{2kb}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$+2b=0，
∴b-2k=0，
∴直線AB的方程為y=k（x+2），
∴直線AB總經(jīng)過定點M（-2，0）．

點評 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查直線是否總過定點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．