Question

病人按規(guī)定的劑量服用某藥物，測(cè)得服藥后，每毫升血液中含藥量y=Ma^x（毫克）與時(shí)間y=Ma^x（小時(shí)）滿足：前1小時(shí)內(nèi)成正比例遞增，1小時(shí)后按指數(shù)型函數(shù)y=Ma^x（M，a為常數(shù)）衰減．如圖是病人按規(guī)定的劑量服用該藥物后，每毫升血液中藥物含量隨時(shí)間變化的曲線．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）已知每毫升血液中含藥量不低于0.5毫克時(shí)有治療效果，低于0.5毫克時(shí)無治療效果．求病人一次服藥后的有效治療時(shí)間為多少小時(shí)？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)y=kx，又過（1，4）點(diǎn)，知y=4x；當(dāng)x＞1時(shí)，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點(diǎn)，知y=8(

1

2

)x=23-x．由此能求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當(dāng)f（x）≥

1

2

時(shí)，為有效治療，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；當(dāng)x＞1時(shí)，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4.4-

1

8

=

31

8

．由此能求出病人一次服藥后的有效治療時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y與x成正比例，設(shè)為y=kx，
又過（1，4）點(diǎn)，∴k=4，
∴y=4x，…（2分）
當(dāng)x＞1時(shí)，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點(diǎn)，
∴

Ma1=4 Ma2=2

，解得

M=8 a= 1 2

，
∴y=8(

1

2

)x=23-x．…（6分）
∴y=f（x）=

4x，0≤x≤1 23-x，x＞1

．…（8分）
（2）當(dāng)f（x）≥

1

2

時(shí)，為有效治療，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4．
4-

1

8

=

31

8

．
∴當(dāng)

1

8

≤x≤4時(shí)，有治療效果．
所以有效治療時(shí)間為

31

8

小時(shí)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)數(shù)據(jù)應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．