Question

10、定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，且滿足f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，則f（2011）的值是（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、2

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，且滿足f（1+x）=f（1-x），我們可以求出函數的對稱軸和對稱中心，根據函數對稱性與周期性之間的關系，我們易求出函數的周期，進而結合當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，即可f（2011）的值．

解答：解：∵f（1+x）=f（1-x），
故直線x=1是函數y=f（x）的一條對稱軸
又由函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
故原點（0，0）是函數y=f（x）的一個對稱中心
則T=4是函數y=f（x）的一個周期
又∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，
故f（2011）=f（-1）=-1
故選A

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性的性質，函數的對稱性，函數的同期性，其中根據直線x=a是函數圖象的對稱軸，（b，0）是函數圖象的對稱中心，則T=4|a-b|是函數的周期是解答本題的關系．