Question

（2013•昌平區(qū)一模）在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“折線距離”．則
①到坐標原點O的“折線距離”不超過2的點的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是

8

；
②坐標原點O與直線2x-y-2

3

=0上任意一點的“折線距離”的最小值是

3

．

Answer 1

分析：①根據(jù)“折線距離”的定義，可得到坐標原點O的“折線距離”不超過2的點的集合對應(yīng)的式子為|x|+|y|≤2，再作出如圖所示的正方形，求出其面積即可得到答案；
②設(shè)Q（m，2m-2

3

）為直線2x-y-2

3

=0上任意一點，得到“折線距離”關(guān)于m的函數(shù)d（0，Q）=|m|+2|m-

3

|，再根據(jù)m的范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出“折線距離”的最小值．

解答：解：①根據(jù)題意，到坐標原點O的“折線距離”不超過2的點P（x，y）滿足等式
d（P，0）=|x-0|+|y-0|≤2，即|x|+|y|≤2，
對應(yīng)的圖形是以原點為中心，各個頂點在坐標軸上且對角線長為4
的正方形及其內(nèi)部，如圖所示
∴所求圖形的面積為S=

1

2

×4²=8；
②設(shè)直線2x-y-2

3

=0上點Q坐標為（m，2m-2

3

）
∴坐標原點O與點Q的“折線距離”為
d（0，Q）=|m-0|+|2m-2

3

-0|=|m|+2|m-

3

|
當m≥

3

時，d（0，Q）=3m-2

3

，為關(guān)于m的增函數(shù)
此時d（0，Q）的最小值為3×

3

-2

3

=

3

；
當0＜m＜

3

時，d（0，Q）=2

3

-m，為關(guān)于m的減函數(shù)，此時d（0，Q）的最小值大于

3

；
當m≤0時，d（0，Q）=2

3

-3m為關(guān)于m的減函數(shù)，此時d（0，Q）的最小值為2

3

綜上所述，坐標原點O與直線2x-y-2

3

=0上任意一點的“折線距離”的最小值是

3

故答案為：8，

3

點評：本題求“折線距離”的最小值，著重考查了直線的方程、兩點間距離公式的應(yīng)用、絕對值的定義和函數(shù)最值求法等知識，屬于中檔題．