Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）證明：PB∥平面AEC；
（3）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理，即可證明AC⊥平面PAB，從而可得AC⊥PB；
（2）連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO，證明PB∥EO，即可證明PB∥平面AEC；
（3）過O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，則∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角，連結(jié)EF，即可求二面角E-AC-B的大�。�
解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD內(nèi)，∴AC⊥PA
又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）
又PB在平面PAB內(nèi)，∴AC⊥PB（4分）
（2）證明：連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO
∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點（5分）
又E為PD中點，∴PB∥EO（6分）
又PB在平面AEC外，EO在AEC平面內(nèi)，∴PB∥平面AEC（8分）
（3）解：過O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，則F為AD中點
∵AB⊥AC，∴OG⊥AC
又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，
∴AC⊥EO（10分）
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角
連結(jié)EF，在△EFO中，
又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°
∴∠EOG=135°，即二面角E-AC-B的大小為135°．（12分）
點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．