Question

已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有幾條？將題目中的30°改為10°、25°、65°、80°、90°，情況又如何呢？變?yōu)?°＜≤90°時呢？

Answer 1

答案：
解析：

答案：符合題意的直線有且僅有2條．10°時：0條；25°時：有且只有1條；65°時：有且只有3條；80°時：有且只有4條；90°時：有且只有1條． 　　當(dāng)0°＜＜25°時，0條；當(dāng)＝25°時，有且只有1條；當(dāng)25°＜＜65°時，有且只有2條；當(dāng)＝65°時，有且只有3條；當(dāng)65°＜＜90°時，有且只有4條；當(dāng)＝90°時，有且只有1條． 　　思路解析：過點P作直線∥a，∥b，則、相交．設(shè)、確定的平面為α， 　　(1)若過點P的直線l在α內(nèi)，則l必為平分線，此時與、成25°角或65°角，從而與a、b成25°角或65°角，不合題意． 　　(2)對于、所成的50°角，設(shè)過這個角的平分線且與α垂直的平面為β．在β內(nèi)，當(dāng)過點P的直線從這個角平分線的位置向α的垂線位置運動的過程中，該直線與、所成的角相等且從25°逐漸增加到90°，從而必有一位置等于30°，這樣的直線在β內(nèi)有兩條，它們關(guān)于α對稱． 　　(3)對于、所成的130°角，角平分線與、成65°角，從而過點P以這個角平分線為射影的直線不能與、成50°角． 　　綜上，知符合題意的直線有且僅有2條．