過點Q 作圓O:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)設(shè)P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓C的切線l,且l交x軸于點A,交y軸于點B,設(shè),求的最小值(O為坐標(biāo)原點).
(3)從圓O外一點M(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此時點M的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)利用圓的切線的性質(zhì),結(jié)合勾股定理,可求r的值;
(2)設(shè)出直線方程,利用,表示出,求出模長,利用基本不等式即可求得結(jié)論.
(3)由題意畫出過N作圓的切線,NT的中點就是所求M,求出切點坐標(biāo)即可取得M點的坐標(biāo).
解答:解:(1)圓C:x2+y2=r2(r>0)的圓心為O(0,0),則
∵過點Q(-2,) 作圓C:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且QD=4
∴r=OD===3;
(2)設(shè)直線l的方程為=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,則A(a,0),B(0,b),
,∴=(a,b),∴||=
∵直線l與圓C相切,∴=3
∴3=ab≤
∴a2+b2≥36
∴||≥6
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時,||的最小值為6.
(3)∵切線MN⊥OT,∴|MT|2=|MO|2-9,又|MN|=|MT|,∴|MN|2=|MO|2-9,
M(x1,y1),過N(2,3)的直線的斜率為k,所以NT的方程為:y-3=k(x-2),
與圓的方程x2+y2=9聯(lián)立,,消去y可得:(k2+1)x2+2(3-2k)kx+4k2-12k=0,
因為直線與圓相切,所以△=0,即[2(3-2k)k]2-4(k2+1)(4k2-12k)=0,
化簡得:5k2+12k=0,解得k=0或k=-,
當(dāng)k=0時,x=0,此時T(0,3),當(dāng)k=時,x=,此時T(,
∴滿足條件的M點坐標(biāo)為(1,3)或(,
點評:本題考查圓的切線的性質(zhì),考查向量知識的運用,兩直線垂直的性質(zhì),點到直線的距離公式應(yīng)用,以及求兩直線的交點坐標(biāo)的方法.
練習(xí)冊系列答案
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過點作圓Cx2y2r2()的切線,切點為D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)設(shè)P是圓C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓C的切線l,且lx軸于點A,交軸于點B,設(shè),求的最小值(O為坐標(biāo)原點).

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過點作圓Cx2y2r2()的切線,切點為D,且QD=4.

(1)求r的值;

(2)設(shè)P是圓C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓C的切線l,且lx軸于點A,交軸于點B,設(shè),求的最小值(O為坐標(biāo)原點).

 

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過點Q 數(shù)學(xué)公式作圓O:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)設(shè)P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓C的切線l,且l交x軸于點A,交y軸于點B,設(shè)數(shù)學(xué)公式,求數(shù)學(xué)公式的最小值(O為坐標(biāo)原點).
(3)從圓O外一點M(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此時點M的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點作圓Cx2y2r2()的切線,切點為D,且QD=4.

(1)求r的值;

(2)設(shè)P是圓C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓C的切線l,且lx軸于點A,交軸于點B,設(shè),求的最小值(O為坐標(biāo)原點).

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