Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

1

2

n2+

11

2

n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

1

(2an-11)(2an-9)

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞

k

2013

對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值；
（Ⅲ）設f（n）=

an ，(n=2k-1，k∈N*) 3an-13 ，(n=2k，k∈N*)

是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）利用“裂項求和”即可得出T_n，再利用其單調性即可得出k的最大值；
（III）利用（I）求出f（n），再對m分為奇數(shù)和偶數(shù)討論即可得出．

解答：解：（I）當n=1時，a1=S1=

1

2

+

11

2

=6．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
此式對于n=1時也成立．
因此an=n+5(n∈N*)．
（II）∵cn=

1

(2an-11)(2an-9)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∵T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，∴數(shù)列{

n

2n+1

}單調遞增，
∴（T_n）_min=T₁=

1

3

．令

1

3

＞

k

2013

，解得k＜671，∴k_max=670．
（III）f（n）=

an ，(n=2k-1，k∈N*) 3an-13 ，(n=2k，k∈N*)

=

n+5，(n=2k-1，k∈N*) 3n+2，(n=2k，k∈N*)

，
（1）當m為奇數(shù)時，m+15為偶數(shù)，∴3m+47=5m+25，解得m=11．
（2）當m為偶數(shù)時，m+15為奇數(shù)，∴m+20=15m+10，解得m=

5

7

∉N*（舍去）．
綜上可知：存在唯一的正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

點評：熟練掌握“利用當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、“裂項求和”、數(shù)列的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．