Question

選修 4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用零點分段，化簡函數(shù)，確定函數(shù)的最大值，使f（x）≤a恒成立，應(yīng)有a≥f_max（x），即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)解析式，分別解不等式，即可確定不等式的解集．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x+1|=，------------------（3分）
又當(dāng)-1＜x＜2時，-3＜-2x+1＜3，∴-3≤f（x）≤3-----------------------------------------------（5分）
∴若使f（x）≤a恒成立，應(yīng)有a≥f_max（x），即a≥3
∴a的取值范圍是：[3，+∞）
（Ⅱ）當(dāng)x≤-1時，x²-2x≤3，∴-1≤x≤2，∴x=1；
當(dāng)-1＜x＜2時，x²-2x≤-2x+1，∴-1≤x≤1，∴-1＜x≤1；
當(dāng)x≥2時，x²-2x≤-3，無解；-------------------------（8分）
綜合上述，不等式的解集為：[-1，1]．-------------------------（10分）
點評：本題考查絕對值函數(shù)，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．