【題目】已知圓:,,是圓上的一個動點,線段的垂直平分線與線段相交于點.
(Ⅰ)求點的軌跡方程;
(Ⅱ)記點的軌跡為,,是直線上的兩點,滿足,曲線的過,的兩條切線(異于)交于點,求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析:(1)由題意求出圓 的圓心坐標、半徑,由橢圓的定義判斷出曲線 的形狀為橢圓,橢圓的標準方程即為所求;(2)直線與曲線聯(lián)立,根據韋達定理,弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積公式可得的面積,由基本不等式法求出面積取值范圍,可得答案.
試題解析:(Ⅰ)依題意得圓心,半徑,由于
.
所以點的軌跡方程是以,為焦點,長軸長為4的橢圓,即,,則
,所以的軌跡方程是.
(Ⅱ)依題意,直線斜率存在且不為零,設為,令得,
同理.
設過點的切線為,代入得
.
由解得,
同理.
聯(lián)立兩條切線,解得.
,等號成立當且僅當,
所以四邊形面積的取值范圍是.
【方法點晴】本題主要考查定義法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求四邊形最值的.
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【題目】某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經預測一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+ )x萬元.假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為y萬元.假設需要新建n個橋墩.
(1)寫出n關于x的函數關系式;
(2)寫出y關于x的函數關系式;
(3)當m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最?
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【題目】如圖,在各棱長均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面A1ACC1⊥底面ABC,且∠A1AC= ,點O為AC的中點.
(1)求證:AC⊥平面A1OB;
(2)求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值.
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【題目】已知曲線C1的參數方程為 (θ為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.
(1)把C1的參數方程化為極坐標方程;
(2)求C1與C2交點所在直線的極坐標方程.
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【題目】已知向量 =(cos x,sin x), =(cos x,﹣sin x),且x∈[0, ].求:
(1) 及 ;
(2)若f(x)= ﹣2λ 的最小值是﹣ ,求λ的值.
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【題目】某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產品,每年每位職工只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種,從事三類工種的人數分布比例如圖,根據歷史數據統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計賠付頻率).
對于、、三類工種職工每人每年保費分別為元,元,元,出險后的賠償金額分別為100萬元,100萬元,50萬元,保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年10萬元.
(Ⅰ)若保險公司要求利潤的期望不低于保費的20%,試確定保費、所要滿足的條件;
(Ⅱ)現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇;
方案1:企業(yè)不與保險公司合作,企業(yè)自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工;
方案2:企業(yè)于保險公司合作,企業(yè)負責職工保費的60%,職工個人負責保費的40%,出險后賠償金由保險公司賠付.
若企業(yè)選擇翻翻2的支出(不包括職工支出)低于選擇方案1的支出期望,求保費、所要滿足的條件,并判斷企業(yè)是否可與保險公司合作.(若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望,且與(Ⅰ)中保險公司所提條件不矛盾,則企業(yè)可與保險公司合作.)
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , ,平面底面, 為的中點, 是棱上的點, , .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若三棱錐的體積是四棱錐體積的,設,試確定的值.
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【題目】已知函數f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函數y=f(x)在x=1處取得極值,且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與直線2x+y﹣3=0平行,求a的值;
(2)若 ,試討論函數y=f(x)的單調性.
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