Question

設函數(shù)f（x）=x²+1，g（x）=x，數(shù)列{a_n}滿足條件：對于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有關系式：f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），又設數(shù)列{b_n}滿足b_n=（a＞0且a≠1，n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試問數(shù)列{}是否為等差數(shù)列，如果是，請寫出公差，如果不是，說明理由；
（3）若a=2，記c_n=，n∈N^*，設數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，數(shù)列{}的前n項和為R_n，若對任意的n∈N*，不等式λnT_n+恒成立，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，f（a_n+1）-f（a_n）=2a_n+1，g（a_n+1）=a_n+1，得a_n+1=2a_n+1，即得a_n+1+1=2（a_n+1），故數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列，首項a₁+1=2，通項公式可求．
（2）由b_n=，得=，所以，故==（常數(shù)），所以數(shù)列數(shù)列{}是以=為首項，為公差的等差數(shù)列．
（3）分別利用公式法和錯位相消法求得R_n，T_n，不等式λnT_n+即為＜，即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞，n∈N^*恒成立，求出f（n）=的最大值，λ大于最大值即可．
解答：解：（1）證明：因為f（x）=x²+1，g（x）=x，所以f（a_n+1）-f（a_n）=2a_n+1，
g（a_n+1）=a_n+1，由f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），得a_n+1=2a_n+1，
即得a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，
故數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得a_n+1+1=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
因此數(shù)列{a_n}的通項為：a_n=2ⁿ-1，…（3分）
（2）數(shù)列{}是等差數(shù)列，且公差為log_a2，證明如下：
由b_n=，得=，所以，
故==（常數(shù)），
所以數(shù)列數(shù)列{}是以=為首項，為公差的等差數(shù)列…（6分）
（3）由a=2及（1）與（2）可知c_n=，n∈N^*，，
所以R_n=，
T_n=
故有T_n=
兩式相減，T_n==-=，
即T_n==2-，n∈N*…（10分）
所以不等式不等式λnT_n+，即為＜

即（1-λ）n2+（1-λ）n-6＜0恒成立．也即：λ＞，n∈N^*恒成立…（12分）
令f（n）=，．
則f（n）==1-=1-=1-，
由n+6≥7，得單調(diào)遞增且大于0，∴f（n）單調(diào)遞增，當n→+∞時，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1，∴實數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）…（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式的求解中的應用，數(shù)列的求和，不等式的恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，具有一定的綜合性．