有幾個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這幾個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分.（n∈N+）

思路分析：因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交，就有2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二，因此，增加一個(gè)圓后，平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè)，即f(n+1)=f(n)+2n.

有了上述關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明可迎刃而解.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時(shí)命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分.

則n=k+1時(shí)，在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.

∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.

綜上（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N+，命題成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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點(diǎn)P到x軸的距離比它到點(diǎn)（0，1）的距離小1，稱點(diǎn)P的軌跡為曲線C，點(diǎn)M為直線l：y=-m （m＞0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-l）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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平面上有n個(gè)圓，其中任意兩圓都相交，任意三圓不共點(diǎn)，試推測n個(gè)圓把平面分為幾部分？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

 

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有幾個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這幾個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分．(n∈N+)

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