Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂x-log_x2 （0＜x＜1），數(shù)列{a_n}滿足f(2an)=2n(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）判定數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）f（x）=log₂x-log_x2=log2x-

1

log2x

，log22an-

1

log22an

= an -

1

an

=2n，由a_n²-2na_n-1=0，可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）an=n-

n2+1

=-

1

n+ n2+1

，an+1=-

1

n+1+ (n+1)2+1

＞-

1

n+ n2+1

=an，由此能夠判定數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．

解答：解：（1）f（x）=log₂x-log_x2=log2x-

1

log2x

，
f(2an)=2n(n∈N*)．
即log22an-

1

log22an

= an -

1

an

=2n，
a_n²-2na_n-1=0，此時(shí)0＜2an＜1，a_n＜0，∴an=n-

(n2+1)

．
（2）an=n-

n2+1

=-

1

n+ n2+1

，
an+1=-

1

n+1+ (n+1)2+1

＞-

1

n+ n2+1

=an，
即：a_n+1＞a_n，
∴{a_n}單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．