Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+3]（ m＞0）上的最值；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，也就是a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函數(shù)的最小值，使得a小于函數(shù)的最小值即可．
（II）要求函數(shù)的最值，不管遇到什么特殊的函數(shù)，一定要按照求最值的方法按部就班的來解，首先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，得到可能是極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)和區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)之間的關(guān)系，得到結(jié)果．
（III）要證不等式在一個(gè)區(qū)間上恒成立，把問題進(jìn)行等價(jià)變形，由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，只要求函數(shù)G(x)=

x

ex

-

2

e

最大值進(jìn)行比較即可．

解答：解：（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
也就是a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）恒成立．
令F(x)=lnx+x+

2

x

，
則F'(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F'（x）＜0，在（1，+∞）上上F'（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=3，
所以a≤3．
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x，f'（x）=lnx+2，
由f'（x）=0得x=

1

e2

．
①當(dāng)0＜m＜

1

e2

時(shí)，
在x∈[m，

1

e2

)上上f'（x）＜0，
在x∈(

1

e2

，m+3]上上f'（x）＞0
因此，f（x）在x=

1

e2

處取得極小值，也是最小值.fmin(x)=-

1

e2

．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0
因此，f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
②當(dāng)m≥

1

e2

時(shí)，f'（x）≥0，
因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，
所以f_min（x）=f（m）=m（lnm+1），f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]
（Ⅲ）證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明xlnx+x＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e2

時(shí)取得，
設(shè)G(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則G'(x)=

1-x

ex

，易知Gmax(x)=G(1)=-

1

e

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，
但-

1

e2

＞-

1

e

，從而可知對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時(shí)也要用導(dǎo)數(shù)來求最值．