【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）所求橢圓方程為．

（2）橢圓C上存在四個點分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.

【解析】

(1)利用橢圓的性質(zhì)可求解出a、b；

（2）先假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB, 則四邊形PAOB是邊長為b的正方形，點P是以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點，構(gòu)造方程組即可解得P的坐標.

(1) ,

(2)假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB, 則四邊形PAOB是邊長為b的正方形,點P為以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點.

即 解得

所以點P的坐標是

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【題目】已知一個口袋有個白球，個黑球，這些球除顏色外全部相同，現(xiàn)將口袋中的球隨機逐個取出，并依次放入編號為，，，的抽屜內(nèi).

（1）求編號為的抽屜內(nèi)放黑球的概率；

（2）口袋中的球放入抽屜后，隨機取出兩個抽屜中的球，求取出的兩個球是一黑一白的概率.

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【題目】設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2， ．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．

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【題目】養(yǎng)路處建造圓錐形無底倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．

(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；

(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；

(3)哪個方案更經(jīng)濟些？

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【題目】已知橢圓：的離心率為，點，分別為橢圓的左右頂點，點在上，且面積的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為的左焦點，點在直線上，過作的垂線交橢圓于，兩點.證明：直線平分線段.

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【題目】設函數(shù)f（x）滿足x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，則x＞0時，f（x）（ ）
A.有極大值，無極小值
B.有極小值，無極大值
C.既有極大值又有極小值
D.既無極大值也無極小值

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【題目】設向量 ， ， ．
（1）若 ，求x的值；
（2）設函數(shù) ，求f（x）的最大值．

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【題目】由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青春電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機調(diào)查了、兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意

滿意

合計

30

合計

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾是地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為，且.

（Ⅰ）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查，則應抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少；

（Ⅱ）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；

（Ⅲ）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機抽取3人，設抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和期望.

附：參考公式：

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【題目】已知數(shù)列的前項和為，且.

（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；

（2）求；

（3）設,若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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