Question

若數(shù)列{a_n]滿足a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)，n≥2，n∈N^*），則稱數(shù)列{a_n}為等方數(shù)列，p為公方差，已知正數(shù)等方數(shù)列{a_n}的首項a₁=1且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₁≠a₂，設(shè)集合A={T_n|T_n=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

，1≤n≤100，n∈N^*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整數(shù)，則B為“夢幻子集”，那么集合A中的“夢幻子集”的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)正數(shù)等方差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₁≠a₂，確定數(shù)列的通項，利用裂項法求和，可得A中的整數(shù)元素為1，2，3，4，5，6，即可求得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{a_n}為正數(shù)等方差數(shù)列，p為公方差，
則a₂²-a₁²=p，a₃²-a₂²=p，a₄²-a₃²=p，a₅²-a₄²=p則a₅²-a₁²=4p，
∵a₁=1，∴a₂=

1+p

，a₅=

1+4p

，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴1+p=

1+4p

，
∴p=0或p=2
∵a₁≠a₂，∴p=2，
∴a_n=

1+2(n-1)

=

2n-1

，
∴

1

an+an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

1

2

（

2n+1

-

2n-1

）
∴T_n=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

）
=

1

2

（

2n+1

-1）．
∴A中的整數(shù)元素為1，2，3，4，5，6，
∵A的非空子集B，若B的元素都是整數(shù)，
∴集合A中的“夢幻子集”的個數(shù)為2⁶-1=63，
故答案為：63．

點評：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．