在邊長(zhǎng)為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的正三角形底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？

 

 

當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為a時(shí)，箱子容積最大，最大值為a3.

【解析】設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x，則箱高為h＝(0<x<a)，

箱子的容積為V(x)＝x2×sin60°×h＝ax2－x3(0<x<a)．

由V′(x)＝ax－x2＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝a，

且當(dāng)x∈時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，V′(x)<0，

所以函數(shù)V(x)在x＝a處取得極大值，

這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值：V＝a3.

答：當(dāng)箱子底邊長(zhǎng)為a時(shí)，箱子容積最大，最大值為a3.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知x，y滿足約束條件，試求解下列問(wèn)題．

(1)z＝的最大值和最小值；

(2)z＝的最大值和最小值；

(3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值．

 

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三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點(diǎn)．

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；

(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．

 

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若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________．

 

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如圖所示，在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是SC、BC的中點(diǎn)，且MN⊥AM，若側(cè)棱SA＝2，則正三棱錐SABC外接球的表面積是________．

 

 

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若長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為，，，則此長(zhǎng)方體的外接球的表面積是________．

 

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如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直．EF∥BD，AB＝EF.求證：

(1)BF∥平面ACE；

(2)BF⊥BD.

 

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如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD.若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，求證：

(1)EF∥平面PAD；

(2)EF⊥平面PDC.

 

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若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的__________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)

 

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