Question

過雙曲線2x²-y²=2的右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線有

 

條．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，求得a、b的值，根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長(zhǎng)的最小值，可得符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．

解答：解：將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得：x²-

y2

2

=1，則a=1，b=

2

；
若AB只與雙曲線右支相交時(shí)，|AB|的最小距離是通徑，長(zhǎng)度為

2b2

a

=4，
此時(shí)只有一條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時(shí)，此時(shí)|AB|的最小距離是實(shí)軸兩頂點(diǎn)的距離，長(zhǎng)度為2a=2，距離無最大值，
結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，可得此時(shí)有2條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件；
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的關(guān)系，解題時(shí)可以結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長(zhǎng)最小值，從而求解；要避免由弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．