Question

已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函數(shù)是否屬于集合M？說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實數(shù)k和b的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)屬于集合M，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）做出所給的函數(shù)的定義域，假設(shè)這個函數(shù)屬于集合，則得到方程x²+x+1=0，因為此方程無實數(shù)解，得到不存在x使得等式成立，所以函數(shù)．
（2）做出函數(shù)的定義域R，根據(jù)f（x）=kx+b∈M，則存在實數(shù)x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，解得b=0，得到實數(shù)k和b的取得范圍是k∈R，b=0
（3）根據(jù)所給的函數(shù)符合集合的條件，寫出符合條件的關(guān)系式，得到一個關(guān)于自變量的一元二次方程，根據(jù)有解得到判別式大于0，得到結(jié)果．
解答：解：（1）根據(jù)題意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若，
則存在非零實數(shù)x，使得，…（2分）
即x²+x+1=0，…（3分）
因為此方程無實數(shù)解，所以函數(shù)．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在實數(shù)x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，實數(shù)k和b的取得范圍是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由題意，a＞0，D=R．由，存在實數(shù)x，
使得，…（10分）
所以，，
化簡得（a²-2a）x²+2a²x+2a²-2a=0，…（12分）
當(dāng)a=2時，，符合題意．…（13分）
當(dāng)a＞0且a≠2時，由△≥0得4a⁴-8（a²-2a）（a²-a）≥0，
化簡得a²-6a+4≤0，
解得．…（15分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍是．…（16分）
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的滿足集合的條件寫出關(guān)于變量的關(guān)系式進行求解，本題是一個難題，難點在于理解題意．