Question

（08年衡陽(yáng)八中文）（12分）

如圖，“雙塔”形立體建筑的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面內(nèi)作菱形ABCD，邊長(zhǎng)為1，∠BAD＝60°，再在面的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB＝90°．

（1）求證：；

（2）求PB與平面ACQP所成的角；   

（3）求點(diǎn)P到平面QBD的距離；

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐知M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點(diǎn)A、M、E、N、C共線(xiàn)，且PMNQ為矩形．

∴PQ‖AC    ∴                        ……………………4分

（2）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰△．取BD中點(diǎn)E，連結(jié)PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而∠BPE是PB與平面ACQP所成的角，由（1）可得ME＝NE＝，PE＝QE＝，PB＝，

∴　cos∠PEQ＝，

即PB與平面ACQP所成的角為．……………………8分

（3）　由（1）知BD⊥平面PEQ．作PFQE于F，則點(diǎn)P到平面QBD的距離為PF的長(zhǎng)，則

 

∴　點(diǎn)P到平面QBD的距離為．      ……………12分