Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）當a=3時，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a等于3時求出函數(shù)的導數(shù)根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出端點值，比較極值和端點值的大小求得最值
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，觀察是否滿足存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，最后得出a的取值范圍，

解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=-x³+3x²-4，f?（x）=-3x²+6x=-3x（x-2）．
當x變化時，f?（x）、f（x）在區(qū)間的變化如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f?（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	極小值-4	↗	-2

所以f（x）在區(qū)間上的最大值為f（-1）=0，最小值為f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f?（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2a

3

）．
若a≤0，則當x∈（0，+∞）時，f?（x）＜0，此時f（x）單調遞減，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使題設成立的x₀．
若a＞0，則當x∈（0，

2a

3

）時，f?（x）＞0，此時f（x）單調遞增；當x∈（

2a

3

，+∞）時，f?（x）＜0，此時f（x）單調遞減．f（x）在（0，+∞）的最大值為f（

2a

3

）=

4a3

27

-4．所以題設的x₀存在當且僅當

4a3

27

-4＞0，解得a＞3．
綜上，使題設成立的a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：該題考查函數(shù)的求導以及函數(shù)單調性的判斷，解答過程中要注意畫圖表，先討論a的取值范圍在看是否滿足題目要求，最后要綜上所述．屬于簡單題．