Question

已知定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函數(shù)滿足：①f（3）=1；②對任意的x＞2均有f（x）＞0；③對任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值．
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（cos²θ+asinθ）＜3對任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對任意的正實數(shù)x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），又，可得，根據(jù)條件②判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件把f（cos²θ+asinθ）＜3化為或1＜cos²θ+asinθ＜9，對任意的θ∈（0，π）恒成立，換元和分離參數(shù)即可求得a的范圍．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（2）=0；
（2）先證明f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
任取x₁＞1，x₂＞1，且x₂＞x₁
則有===f（x₂）．
而
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
又因為f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．
令x=y=2  有f（5）=2；
令x=2，y=4  有f（9）=3．
又，
∴．
則f（x）＜3的解集為，
于是問題等價于是否存在實數(shù)a，使或1＜cos²θ+asinθ＜9對任意的θ∈（0，π）恒成立，
令t=sinθ，則t∈（0，1]
對于恒成立化為，在t∈（0，1]上恒成立．
即在t∈（0，1]上恒成立．
而t→0時，，故不存在存在實數(shù)a，使恒成立．
1＜cos²θ+asinθ＜9對任意的θ∈（0，π）恒成立等價于在t∈（0，1]上恒成立．
t²-at+8＞0，t∈（0，1]?，
易得a＜9．而t²-at＜0知a＞t所以a＞1．
綜合以上有當1＜a＜9使得f（cos²θ+asinθ）＜3對任意的θ∈（0，π）恒成立
點評：此題是個難題，考查抽象函數(shù)及其應用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應用賦值法．特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，綜合性強．