求一切實數(shù)p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．

解：x=1是方程的一個根．于是只要考慮二次方程5x2-5px+66p-1=0的兩個根為正整數(shù)即可．
設(shè)此二正整數(shù)根為u、v．則由韋達定理知，

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：52uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=662-5=4351=19×229．由于u、v均為整數(shù)，故5u-66、5v-66為整數(shù)．
∴
或
或
或
∴其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值．此時p=76．
分析：因為5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p=（x-1）（5x2-5px+66p-1）=0，所以使三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)，只要考慮二次方程5x2-5px+66p-1=0的兩個根為正整數(shù)即可．
點評：本題考查了函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把三次方程根的情況轉(zhuǎn)化為二次方程根的情況，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣為M1，變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2=
11
01
；
（I）求點P（2，1）在T1作用下的點Q的坐標；
（II）求函數(shù)y=x2的圖象依次在T1，T2變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標系與參數(shù)方程
從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動點P的極坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)R為l上的任意一點，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為{x|x≥
1
2
或x≤-
5
6
}，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求一切實數(shù)p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求一切實數(shù)p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年全國高校自主招生數(shù)學模擬試卷（十四）（解析版） 題型：解答題

求一切實數(shù)p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．

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