Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知(a2-1)3+2011(a2-1)=sin

2011π

3

，(a2010-1)3+2011(a2010-1)=cos

2011π

6

，則S2011等于（　�。�

• A、4022
• B、0
• C、2011
• D、2011

  3

Answer 1

分析：將兩個(gè)等式相加，利用立方和公式將得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₀的值，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出n項(xiàng)和．

解答：解：∵(a2-1)3+2011(a2-1)=sin

2011π

3

①
（a₂₀₁₀-1）³+2011(a2010-1)=cos

2011π

6

②
①+②得
（a₂-1）³+2011（a₂-1）=1
（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=-1
二式相加，得
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²]+2011（（a₂-1+a₂₀₁₀-1）=0
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²+2011]=0
∴a₂-1+a₂₀₁₀-1=0
a₂+a₂₀₁₀=2
∴S2011=

(a1+a2011)× 2011

2

=

(a2+a2010)× 2011

2

=2011
故選C．

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，先判斷出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和公式，求出前n項(xiàng)和．