Question

一般地，在數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_m+T=a_m對任意正整數(shù)m均成立，那么就稱{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），如果x₁=1，x₂=a，（a≤1，a≠0），設(shè)S₂₀₀₉為其前2009項(xiàng)的和，則當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期為3時，S₂₀₀₉=

1339+a

．

Answer 1

分析：首先要弄清題意中所說的周期數(shù)列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數(shù)列的周期由題意和周期定義知，先求x₃，再前三項(xiàng)和s₃，最后求s₂₀₀₉．

解答：解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=1-a
∴該數(shù)列的前3項(xiàng)的和s₃=1+a+（1-a）=2
∵數(shù)列{x_n}周期為3，
∴該數(shù)列的前2009項(xiàng)的和s₂₀₀₉=s₂₀₀₇+x₁+x₂=

2007

3

s₃+1+a=1339+a，
故答案為1339+a．

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列具有周期性、數(shù)列的前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，解答關(guān)鍵在于應(yīng)由題意先求一個周期的和，再求該數(shù)列的前n項(xiàng)和s_n．