Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，a1=

1

2

，

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，且a_n+1•a_n＜0．（n∈N^*）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若{b_n}=a_n+1²-a_n²，試問數(shù)列{b_n}中是否存在三項能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的等差數(shù)列，若不存在；說明理由．

Answer 1

分析：（I）首先求出a1=

1

2

，然后討論當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n＜0；當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n＞0，再由

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，得3（a_n+1²-a_n²）=1-a_n+1²，即4a_n+1²-3a_n²=1，于是可以得出
4（a_n+1²-1）=3（a_n²-1），即數(shù)列{a_n²-1}是以

a

2 1

-1=-

3

4

為首項，

3

4

為公比的等比數(shù)列，最終求出{a_n}的通項公式．
（II）由（ I）知b_n=a_n+1²-a_n²=1-(

3

4

)n+1-1+(

3

4

)n=

1

4

•(

3

4

)n，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）成等差數(shù)列，然后證明2•3^s•4^t-s=3^r•4^t-r+3^t是不是成立．

解答：解：（ I）由a1=

1

2

，a_n+1•a_n＜0知，
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n＜0；當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n＞0；
由

3(an+1-an)

1+an+1

=

1-an+1

an+1+an

，得3（a_n+1²-a_n²）=1-a_n+1²，即4a_n+1²-3a_n²=1，
所以4（a_n+1²-1）=3（a_n²-1），
即數(shù)列{a_n²-1}是以

a

2 1

-1=-

3

4

為首項，

3

4

為公比的等比數(shù)列
所以，

a

2 n

-1=-

3

4

(

3

4

)n-1=-(

3

4

)n，

a

2 n

=1-(

3

4

)n，
故an=(-1)n-1

1-( 3 4 )n

（ II）由（ I）知b_n=a_n+1²-a_n²=1-(

3

4

)n+1-1+(

3

4

)n=

1

4

•(

3

4

)n，
則對于任意的n∈N^*，b_n＞b_n+1．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）成等差數(shù)列，
則b_r＞b_s＞b_t，即只能有2b_s=b_r+b_t成立，
所以2•

1

4

(

3

4

)s=

1

4

(

3

4

)r+

1

4

(

3

4

)t，2•(

3

4

)s=(

3

4

)r+(

3

4

)t，
所以，2•3^s•4^t-s=3^r•4^t-r+3^t，
因為r＜s＜t，所以t-s＞0，t-r＞0，
所以2•3^s•4^t-s是偶數(shù)，3^r•4^t-r+3^t是奇數(shù)，而偶數(shù)與奇數(shù)不可能相等，
因此數(shù)列{b_n}中任意三項不可能成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列關(guān)系確定的知識點，解答本題的關(guān)鍵是對n進(jìn)行奇偶數(shù)分類討論，要熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，本題有一定難度．