Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+n；數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且對(duì)任意n∈N*，bn+1-

1

2

bn=0，
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₂₀．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，利用a_n=s_n-s_n-1，n≥2，可求得a_n，通過數(shù)列{b_n}的遞推式，利用定義判斷其為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出b_n．
（2）由（1）可知{c_n}的通項(xiàng)，然后利用分組求和求出T₂₀．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
綜上，a_n=2n（n∈N^*）．
又bn+1=

1

2

bn，b1=1，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴bn=(

1

2

)n-1(n∈N*)．
（2）由（1）知，an=

2n，n為奇數(shù) ( 1 2 )n-1 n為偶數(shù)

，
∴T20=2+

1

2

+6+(

1

2

)3+…+38+(

1

2

)19=(2+6+…+38)+[

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)19]
=

(2+38)×10

2

+

1 2 [1-( 1 4 )10]

1- 1 4

=200+

2

3

[1-(

1

4

)10]．

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)難題，主要考查了利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的方法，注意由S_n求a_n時(shí)，a_n=s_n-s_n-1，n≥2的條件．