Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2，若x∈[a，a+1]時的最小值為g（a），
（1）試求函數(shù)g（a）的解析式．
（2）解不等式g（a）＜5．

Answer 1

分析：（1）先求出其對稱軸，再分區(qū)間在對稱軸左邊，右邊以及包含對稱軸三種情況分別討論即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)上一問的結(jié)果，畫出函數(shù)g（a）的圖象以及直線方程Y=5，由圖象即可得到答案．

解答：解：（1）由題得：函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1；
其對稱軸為x=1，開口向上；
所以：a≥1時，函數(shù)在[a，a+1]上遞增，最小值g（a）=f（a）=a²-2a+2
a+1≤1即a≤0時，函數(shù)在[a，a+1]上遞減，最小值g（a）=f（a+1）=a²+1
0＜a＜1時，g（a）=f（1）=1
綜上得：g(a)=

a2-2a+2，a≥1 1，0＜a＜1 a2+1，a≤0

．
（2）∵g(a)=

a2-2a+2，a≥1 1，0＜a＜1 a2+1，a≤0

；
a≥1時，a²-2a+2=5⇒a=3（a=-1舍）；
a≤0時，a²+1=5⇒a=-2（a=2舍）
其對應(yīng)圖象：
由圖得：g（a）＜5的解集為（-2，3）

點(diǎn)評：二次函數(shù)y=ax²+bx+c，在定區(qū)間[m，n]上，[1]當(dāng)m≥-

b

2a

時，對稱軸在區(qū)間左側(cè)，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當(dāng)n≤-

b

2a

時，對稱軸在區(qū)間右側(cè)，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當(dāng)-

b

2a

∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函數(shù)f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-

b

2a

，n]上函數(shù)f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．