Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，s_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

1

n- 7 2

log2an，求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由a₁+3、3a₂、a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，得到（a₁+3）+（a₃+4）=2（3a₂），又S₃=7，得到前三項(xiàng)之和等于7，兩者聯(lián)立即可求出第2項(xiàng)的值，然后設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，利用等比數(shù)列的性質(zhì)利用第2項(xiàng)表示出首項(xiàng)和第3項(xiàng)，代入S₃=7中列出關(guān)于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根據(jù)q大于1，得到滿足題意q的值，然后根據(jù)q的值求出等比數(shù)列的首項(xiàng)，利用首項(xiàng)和q寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）將（1）中通項(xiàng)代入，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

解答：解：（1）由題意得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4)=6a2

，解得a₂=2，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得a₁=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q₂=

1

2

，
由題意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=2^n-1
（2）bn=

1

n- 7 2

log2an= 

n-1

n- 7 2

=1+

5 2

n- 7 2

∵函數(shù)y=

5 2

n- 7 2

（n∈N₊）在[1，3]上為減函數(shù)，在[4，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，且n=1時(shí)，b₁=0，n=4時(shí)，b₄=6
∴n=4時(shí)，函數(shù)有最大值，此時(shí)最大值為b₄=6
∴數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)為b₄=6

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，基本量法是解題的關(guān)鍵．