Question

如圖所示，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求：
（1）BC′與CD′所成的角；
（2）AD與BC′所成的角．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)BA'、A'C'，利用正方體的性質(zhì)得到四邊形A'D'CB是平行四邊形，得BA'∥CD'，從而∠A'BC'就是BC'與CD'所成的角．正三角形△A'BC'求得∠A'BC'=60°，即得BC'與CD'所成的角的大小；
（2）由AD∥BC，可得∠C'BC就是異面直線AD與BC′所成的角．等腰Rt△BB'C'中，算出∠C'BC=45°，即得AD與BC′所成的角．

解答：解：（1）連結(jié)BA'、A'C'，則
∵正方體ABCD-A'B'C'D'中，A'D'∥BC，A'D'=BC．
∴四邊形A'D'CB是平行四邊形，可得BA'∥CD'，
則∠A'BC'就是BC'與CD'所成的角．
∵△A'BC'為正三角形，可得∠A'BC'=60°．
即BC'與CD'所成的角為60°．…（6分）
（2）由正方體ABCD-A'B'C'D'中，可得AD∥BC，
∴∠C'BC就是異面直線AD與BC′所成的角．
∵Rt△BB'C'中，BB'=B'C'
∴∠C'BC=45°，即AD與BC′所成的角等于45°．…（12分）

點評：本題在正方體中求異面直線所成角的大小．著重考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成角定義與求法等知識，屬于中檔題．