Question

某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為8k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為[

(1024 x +20)x

100

+2]k元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y元．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)k=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（1）由題意，總造價(jià)y中包括座位和圓心處的支點(diǎn)間的鋼管的費(fèi)用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費(fèi)用，故只需算出座位的個(gè)數(shù)即知鋼管的個(gè)數(shù)，將兩項(xiàng)費(fèi)用表示出來(lái)，相加即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將k=100米代入函數(shù)關(guān)系式求出最值即得最低的總造價(jià)．

解答：解：（1）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，則x=

k

n

即n=

k

x

，y=8k

k

x

+

k

x

[

(1024 x +20)x

100

+2]k=k2(

10

x

+

1024 x +20

100

)，
定義域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}；（6分）
（2）當(dāng)k=100時(shí)，令y=100(

1000

x

+1024

x

+20)f(x)=

1000

x

+1024

x

，
則f′(x)=-

1000

x2

+512

1

x

=

-1000+512x 3 2

x2

=0，
∴x

3

2

=

125

64

?x=(

125

64

)

2

3

=

25

16

，（10分）
當(dāng)x∈(0，

25

16

)時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

25

16

)上單調(diào)減，
當(dāng)x∈(

25

16

，50)時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在x∈(

25

16

，50)上單調(diào)增，
y_min在x=

25

16

時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為

100

25 16

=64個(gè)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題是常見的利用導(dǎo)數(shù)解決現(xiàn)實(shí)中造價(jià)最優(yōu)的一個(gè)應(yīng)用題，審題與構(gòu)造函數(shù)是重點(diǎn)，在求最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．