Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^-x（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，-2），且在該點(diǎn)的切線方程為4x-y-2=0．
（Ⅰ）若f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c的值，求導(dǎo)函數(shù)，利用切線方程可得b=的值，根據(jù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，可得（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個(gè)零點(diǎn)，即y=m和y=f（x）恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，-），（2，+∞）單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)a＜0時(shí)：（�。┊�(dāng)＞2，即-1＜a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，2），（，+∞）單調(diào)遞增，在（2，）上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)2時(shí)，即a＜-1 時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，），（2，+∞）單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞減；（ⅲ）=2時(shí)，即a=-1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)增，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由f（0）=-2，可得c=-2…（1分）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（-ax²+2ax-bx+b-c）e^-x，∴f′（0）=（b-c）e=b-c
∵切線方程為4x-y-2=0，∴b-c=4，∴b=2…（3分）
∴f（x）=（ax²+2x-2）e^-x，f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，
∵f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴（-ax-2）（x-2）e^-x≥0在[2，+∞）上恒成立
即-ax-2≥0，∴a≤-，∴a≤-1 …（5分）
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-m恰好有一個(gè)零點(diǎn)，即y=m和y=f（x）恰好有一個(gè)交點(diǎn)
∵f′（x）=（-ax-2）（x-2）e^-x，

①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，-），（2，+∞）單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值為f（2）=（4a+2）e^-2，極小值為f（）=-2，（當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸上方，并且無限接近于x軸）
所以m=或m＞（4a+2）e^-2，…（8分）
②當(dāng)a＜0時(shí)：（�。┊�(dāng)＞2，即-1＜a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，2），（，+∞）單調(diào)遞增，在（2，）上單調(diào)遞減，極大值f（2）=（4a+2）e^-2，極小值為f（）=-2，（當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸）
當(dāng)（4a+2）e^-2≥0，即時(shí)，m=（4a+2）e^-2或m＜
當(dāng)（4a+2）e^-2＜0，即-1＜a＜時(shí)，（4a+2）e^-2＜m＜0或m＜…（11分）
（ⅱ）當(dāng)2時(shí)，即a＜-1 時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，），（2，+∞）單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞減，極小值為f（2）=（4a+2）e^-2，極大值為f（）=-2，（當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸）
∴m=或m＜（4a+2）e^-2，…（13分）
（ⅲ）=2時(shí)，即a=-1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)增（當(dāng)x趨向于+∞時(shí)圖象在x軸下方，并且無限接近于x軸），此時(shí)m＜0 …（14分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．