(幾何證明選講選選做題)如圖,AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn),∠ABC的平分線與⊙O相交于.D已知BC=1,AB=
3
,則AD=
2
2
;過(guò)B、D分別作⊙O的切線,則這兩條切線的夾角θ=
π
6
(或30°)
π
6
(或30°)
分析:由題意可得∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°,由BC=1,AB=
3
可知∠C=60°,∠BAC=30°,由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°,△ABD中,由正弦定理
AB
sin60°
=
AD
sin45°
可求AD
由∠BAD=30°+45°=75°可得∠BOD=2∠BAD=150°,由∠OBP=∠ODP=90°及點(diǎn)ODPB共圓可求∠P
解答:解:∵AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn)
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D,BC=1,AB=
3

∴∠C=60°,∠BAC=30°,∠ABD=∠CBD=45°
由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中,由正弦定理可得
AB
sin60°
=
AD
sin45°
AD=
3
sin60°
×sin45°
=
2
∵∠BAD=30°+45°=75°
∴∠BOD=2∠BAD=150°
設(shè)所作的兩切線交于點(diǎn)P,連接OB,OD,則可得OB⊥PB,OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴點(diǎn)ODPB共圓
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案為:
2
,30°


點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用,三角形的正弦定理的應(yīng)用,及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用,屬于圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用.
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PAPC
=
 

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