Question

對于函數(shù)f（x）=ae^x-x，若存在實數(shù)m、n，使得f（x）≤0的解集為[m，n]（m＜n），則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）∪（0，

  1

  e

  ）
• B、（-∞，0）∪（0，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  e

  ）
• D、（0，

  1

  e

  ]

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：轉(zhuǎn)化ae^x≤x，為a的不等式，求出表達(dá)式的最大值，以及單調(diào)區(qū)間，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：ae^x≤x（e是自然對數(shù)的底數(shù)），轉(zhuǎn)化為a≤

x

ex

，
令y=

x

ex

，
則y′=

ex-xex

e2x

，令y′=0，可得x=1，
當(dāng)x＞1時，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)x＜1時，y′＞0，函數(shù)y遞增．
則當(dāng)x=1時函數(shù)y取得最大值

1

e

，
由于存在實數(shù)m、n，使得f（x）≤0的解集為[m，n]，
則由右邊函數(shù)y=

x

ex

的圖象可得a的取值范圍為（0，

1

e

）．
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．