Question

某工廠每月生產(chǎn)某種產(chǎn)品三件，經(jīng)檢測發(fā)現(xiàn)，工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的合格率為

4

5

，已知生產(chǎn)一件合格品能盈利25萬元，生產(chǎn)一件次品將會(huì)虧損10萬元，假設(shè)該產(chǎn)品任何兩件之間合格與否相互沒有影響．
（Ⅰ）求工廠每月盈利額ξ（萬元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若該工廠制定了每月盈利額不低于40萬元的目標(biāo)，求該工廠達(dá)到盈利目標(biāo)的概率；
（Ⅲ）求工廠每月盈利額ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意知，工廠每月生產(chǎn)的三種產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品的件數(shù)的所有可能結(jié)果是：0，1，2，3，得到相應(yīng)的月盈利額ξ的取值量ξ=-30，5，40，75．
（II）根據(jù)題意得到變量的可能的取值，根據(jù)變量對(duì)應(yīng)的事件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到概率，寫出分布列
（III）根據(jù)上一問做出的變量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值．

解答：解：（I）工廠每月生產(chǎn)的三種產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品的件數(shù)的所有可能結(jié)果是：0，1，2，3，則相應(yīng)的月盈利額ξ的取值量ξ=-30，5，40，75…（2分）
（II）月盈利額ξ的分布量：
P（ξ=-30）=C₃⁰（

1

5

）³=

1

125

，P（ξ=5）=C₃¹（

1

5

）²•

4

5

=

12

125

，
P（ξ=40）=C₃²（

4

5

）²•

1

5

=

48

125

，P（ξ=75）=C₃³（

4

5

）³=

64

125

，
所以P（ξ≥40）=P（ξ=40）+P（ξ=75）=

112

125

…（12分）
即

ξ	-30	5	40	75
P	1 125	12 125	48 125	64 125

（III）Eξ=（-30）×

1

125

+5×

12

125

+40×

48

125

+75×

64

125

=54…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，即獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題解題的關(guān)鍵是看出所給的變量符合什么規(guī)律，利用概率的公式來解題．