Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=x^n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．
①求T_n；
②若x=2，求數(shù)列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小項的值．

Answer 1

分析：（1）知S_n=n²+n，根據(jù)項與前n項和之間的關(guān)系求項與n之間的關(guān)系式，即數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）①由（1）知，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，用錯位相減法求T_n；
②由①求出T_n，求出所要求的式子，證明這個數(shù)列的單調(diào)性，從而判定最小項．

解答：解：（1）a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

=

2，n=1 2n，n≥2

=2n．（2分）
（2）c_n=2nx^n-1，
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
則xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2x^n-1-2nxⁿ，
當(dāng)x≠1時，（1-x）T_n=2×

1-xn

1-x

-2nxⁿ，
T_n=

2-2(n+1)xn+2nxn+1

(1-x)2

，（5分）
當(dāng)x=1時，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．（6分）

（3）當(dāng)x=2時，T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．
則

nTn+1-2n

Tn+2-2

=

n2

2(n+1)

．（7分）
設(shè)f（n）=

n2

2(n+1)

．
因為f（n+1）-f（n）=

(n+1)2

2(n+2)

-

n2

2(n+1)

=

n2+3n+1

2(n+1)(n+2)

＞0，（10分）
所以函數(shù)f（n）在n∈N₊上是單調(diào)增函數(shù)．（11分）
所以n=1時，f（n）取最小值

1

4

，即數(shù)列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小項的值為

1

4

．（12分）

點評：本題考查項與前n項和之間的關(guān)系，注意n=1的時候；用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積；求數(shù)列的最小項，要考查數(shù)列的單調(diào)性，此時把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)集的函數(shù)．