(本小題滿分12分)已知拋物線和點,若拋物線上存在不同兩點滿足
(I)求實數(shù)的取值范圍;
(II)當(dāng)時,拋物線上是否存在異于的點,使得經(jīng)過三點的圓和拋物線在點處有相同的切線,若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(1) 即的取值范圍為
(2) 滿足題設(shè)的點存在,其坐標(biāo)為 . 

試題分析:解法1:(I)不妨設(shè)A,B,且,∵,
.∴,
根據(jù)基本不等式(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)得
),即,
,即的取值范圍為
(II)當(dāng)時,由(I求得的坐標(biāo)分別為、
假設(shè)拋物線上存在點,且),使得經(jīng)過、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線.
設(shè)經(jīng)過、、三點的圓的方程為,
 
整理得 .                 ①
∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,
∴拋物線在點處的切線的斜率為,
∴經(jīng)過、、三點的圓在點處的切線斜率為
,∴直線的斜率存在.∵圓心的坐標(biāo)為,
,即.      ②
,由①、②消去,得. 即
,∴.故滿足題設(shè)的點存在,其坐標(biāo)為
解法2:(I)設(shè),兩點的坐標(biāo)為,且
,可得的中點,即
顯然直線軸不垂直,設(shè)直線的方程為,即,將代入中,
.∴ 
. 故的取值范圍為
(II)當(dāng)時,由(1)求得,的坐標(biāo)分別為.    
假設(shè)拋物線上存在點),使得經(jīng)過、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線.
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為,                                                  
  ∴ 
      解得  
∵拋物線在點處切線的斜率為,而,且該切線與垂直,
,即 .將,                                                     
代入上式,得,即
,∴
故滿足題設(shè)的點存在,其坐標(biāo)為
點評:解決該試題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程以及性質(zhì)來分析得到結(jié)論,同時對于探索性問題,一般先假設(shè),然后分析求解,屬于中檔題。
練習(xí)冊系列答案
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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點為橢圓的右頂點, 點,點在橢圓上, .


(1)求直線的方程;
(2)求直線被過三點的圓截得的弦長;

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雙曲線=1的焦點到漸近線的距離為(   )。
A.2B.2C.D.1

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(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形,求滿足該條件的直線l的方程.

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下列命題中真命題的是(  )
A.在同一平面內(nèi),動點到兩定點的距離之差(大于兩定點間的距離)為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線
B.在平面內(nèi),F(xiàn)1,F(xiàn)2是定點,|F1F2|=6,動點M滿足|MF1|+|MF2|=6,則點M的軌跡是橢圓
C.“若-3<m<5則方程是橢圓”
D.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),到點和直線距離相等的點的軌跡是直線

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與雙曲線的漸近線相切,則的值是 _______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知拋物線的焦點為F,過拋物線在第一象限部分上一點P的切線為,過P點作平行于軸的直線,過焦點F作平行于的直線交于M,若,則點P的坐標(biāo)為         

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過點P(0,-2)的雙曲線C的一個焦點與拋物線的焦點相同,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(   )
A.B.
C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點,則該雙曲線的離心率為___________.

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