(本小題滿分12分)
已知拋物線
:
和點
,若拋物線
上存在不同兩點
、
滿足
.
(I)求實數(shù)
的取值范圍;
(II)當(dāng)
時,拋物線
上是否存在異于
的點
,使得經(jīng)過
三點的圓和拋物線
在點
處有相同的切線,若存在,求出點
的坐標,若不存在,請說明理由.
(1) 即
的取值范圍為
.
(2) 滿足題設(shè)的點
存在,其坐標為
.
試題分析:解法1:(I)不妨設(shè)
A,
B,且
,∵
,
∴
.∴
,
.
根據(jù)基本不等式
(當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號)得
(
),即
,
∴
,即
的取值范圍為
.
(II)當(dāng)
時,由(I求得
、
的坐標分別為
、
.
假設(shè)拋物線
上存在點
(
,且
),使得經(jīng)過
、
、
三點的圓和拋物線
在點
處有相同的切線.
設(shè)經(jīng)過
、
、
三點的圓的方程為
,
則
整理得
. ①
∵函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)為
,
∴拋物線
在點
處的切線的斜率為
,
∴經(jīng)過
、
、
三點的圓
在點
處的切線斜率為
.
∵
,∴直線
的斜率存在.∵圓心
的坐標為
,
∴
,即
. ②
∵
,由①、②消去
,得
. 即
.
∵
,∴
.故滿足題設(shè)的點
存在,其坐標為
.
解法2:(I)設(shè)
,
兩點的坐標為
,且
。
∵
,可得
為
的中點,即
.
顯然直線
與
軸不垂直,設(shè)直線
的方程為
,即
,將
代入
中,
得
.∴
∴
. 故
的取值范圍為
.
(II)當(dāng)
時,由(1)求得
,
的坐標分別為
.
假設(shè)拋物線
上存在點
(
且
),使得經(jīng)過
、
、
三點的圓和拋物線
在點
處有相同的切線.
設(shè)圓的圓心坐標為
,
∵
∴
即
解得
∵拋物線
在點
處切線的斜率為
,而
,且該切線與
垂直,
∴
,即
.將
,
代入上式,得
,即
.
∵
且
,∴
.
故滿足題設(shè)的點
存在,其坐標為
.
點評:解決該試題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程以及性質(zhì)來分析得到結(jié)論,同時對于探索性問題,一般先假設(shè),然后分析求解,屬于中檔題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系
中,點
為橢圓
的右頂點, 點
,點
在橢圓上,
.
(1)求直線
的方程;
(2)求直線
被過
三點的圓
截得的弦長;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
=1的焦點到漸近線的距離為( )。
A.2 | B.2 | C. | D.1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在坐標原點O,長軸長為2
,離心率e=
,過右焦點F的直線
l交橢圓于P、Q兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形,求滿足該條件的直線
l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
圓
與雙曲線
的漸近線相切,則
的值是 _______.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線
的焦點為F,過拋物線在第一象限部分上一點P的切線為
,過P點作平行于
軸的直線
,過焦點F作平行于
的直線交
于M,若
,則點P的坐標為
。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
過點P(0,-2)的雙曲線C的一個焦點與拋物線
的焦點相同,則雙曲線C的標準方程是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
的一條漸近線經(jīng)過點
,則該雙曲線的離心率為___________.
查看答案和解析>>