Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2lnx，
（I）求f（x）的最小值；
（II）若f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值，并將它與函數(shù)端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較即可，
（II）要求若f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，即轉(zhuǎn)化為2t≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，只需求h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

x∈（0，1]內(nèi)的最小值即可

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
設(shè)f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）值的變化情況如下表：
所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=1．
（II）由f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立
即轉(zhuǎn)化為2t≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
令h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

h′(x)=

x4-2x2-3+2x2lnx

x4

∵x∈（0，1]，
∴x⁴-3＜0，-2x²＜0，2x²lnx＜0，x⁴＞0，
∴h'（x）＜0得h（x）為（0，1）上的減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時(shí)，h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

有最小值2，得2t≤2，t≤1
故t的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以求函數(shù)恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．