Question

一袋中有x（x∈N^*）個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球．
（Ⅰ）當(dāng)x=3時(shí)，求取出的2個(gè)球顏色都相同的事件的概率；
（Ⅱ）當(dāng)x=3時(shí)，設(shè)ξ表示取出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）如果取出的2個(gè)球顏色不相同的事件概率小于

2

3

，求x的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x=3時(shí)袋中共有8個(gè)球，取出的2個(gè)球顏色都相同，則可能為2紅、2黑、2白．代公式即可求得．
（Ⅱ）當(dāng)x=3時(shí)，取出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)可能為0、1、2．求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列及期望．
（Ⅲ）取出的2個(gè)球顏色不相同，則可能為1紅1黑、1紅1白、1黑1白．使其概率和小于

2

3

，求出最小的正整數(shù)x．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x=3時(shí)，設(shè)“取出的2個(gè)球顏色都相同”為事件A，
P(A)=

C 2 3 + C 2 3 + C 2 2

C 2 8

=

1

4

，
答：取出的2球顏色都相同的事件概率為

1

4

．
（Ⅱ）當(dāng)x=3時(shí)，ξ可取0、1、2，
∵P(ξ=0)=

C 2 5

C 2 8

=

5

14

，P(ξ=1)=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

28

，P(ξ=2)=

C 2 3

C 2 8

=

3

28

∴ξ的概率分布為：

ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=0×

5

14

+1×

15

28

+2×

3

28

=

3

4

．
（Ⅲ）設(shè)“取出的2個(gè)球中顏色不相同”為事件B，
則P(B)=

C 1 x C 1 3 + C 1 x C 1 2 + C 1 3 C 1 2

C 2 x+5

＜

2

3

，
∴x²-6x+2＞0，
∴x＞3+

7

或x＜3-

7

，
∵x∈N
∴x的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，重點(diǎn)考查古典概型及計(jì)算公式．