Question

已知實數(shù)x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）滿足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），記．
（Ⅰ）求及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）當n=3時，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）當n為奇數(shù)時，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：表示x₁，x₂，…，x_n中任意兩個數(shù)x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘積之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中S（x₁，x₂，…，x_n）的計算方法可得得及S（1，1，-1，-1）的值．
（Ⅱ）n=3時，．再固定x₂，x₃，僅讓x₁變動，那么S是x₁的一次函數(shù)或常函數(shù)，因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．以此類推，我們可以看出S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．從而求得S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
（Ⅲ）=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．固定x₂，x₃，…，x_n，僅讓x₁變動，那么S是x₁的一次函數(shù)或常函數(shù)，類似于（II）中的方法得出S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3時，．
固定x₂，x₃，僅讓x₁變動，那么S是x₁的一次函數(shù)或常函數(shù)，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃），S（-1，x₂，x₃）}．
同理S（1，x₂，x₃）≥min{S（1，1，x₃），S（1，-1，x₃）}．
S（-1，x₂，x₃）≥min{S（-1，1，x₃），S（-1，-1，x₃）}．
以此類推，我們可以看出，S的最小值必定可以被某一組取值±1的x₁，x₂，x₃所達到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃）}．
當x_k=±1（k=1，2，3）時，=．
因為|x₁+x₂+x₃|≥1，
所以，且當x₁=x₂=1，x₃=-1，時S=-1，
因此S_min=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n．
固定x₂，x₃，…，x_n，僅讓x₁變動，那么S是x₁的一次函數(shù)或常函數(shù)，
因此S≥min{S（1，x₂，x₃，…，x_n），S（-1，x₂，x₃，…，x_n）}．
同理S（1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（1，1，x₃，…，x_n），S（1，-1，x₃，…，x_n）}．
S（-1，x₂，x₃，…，x_n）≥min{S（-1，1，x₃，…，x_n），S（-1，-1，x₃，…，x_n）}．
以此類推，我們可以看出，S的最小值必定可以被某一組取值±1的x₁，x₂，…，x_n所達到，
于是S≥min{S（x₁，x₂，x₃，…，x_n）}．
當x_k=±1（k=1，2，…，n）時，
=．
當n為奇數(shù)時，因為|x₁+x₂+…+x_n|≥1，
所以，另一方面，若取，，
那么，
因此．…（13分）
點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查邏輯推理能力．屬于難題．