Question

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽于每年10月中旬的第一個星期日舉行，競賽分一試和加試，其中加試題有4題，小明參加了今年的競賽，他能夠答對加試的第一，二，三，四題的概率分別為0.5，0.5，0.2，0.2，且答對各題互不影響．則
（1）小明在加試中至少答對3題的概率 
（2）記X為小明在加試題中答對的題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計算公式即可得出；
（2）類比（1）可得：P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2），P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]．再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)小明能夠答對加試的第一，二，三，四題分別為事件A_i（i=1，2，3，4）．
則小明在加試中至少答對3題的概率 P（X=3或4）=P(A1A2A3

.

A4

)+P(A1A2

.

A3

A4)+P(A1

.

A2

A3A4)+P(

.

A1

A2A3A4)+P（A₁A₂A₃A₄）
=0.5×0.5×0.2×（1-0.2）×2+0.5×0.2×0.2×（1-0.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2
=0.08+0.02+0.01
=0.11．
（2）類比（1）可得：
P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）=0.16，
P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08=0.4，
P（X=3）=0.08+0.02=0.1，
P（X=4）=0.01．
P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]=1-（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33．
可得隨機(jī)變量X的分布列：

X	0	1	2	3	4
P（X）	0.16	0.4	0.33	0.1	0.01

∴E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01
=1.4．

點(diǎn)評：本題考查了互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．