Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）寫(xiě)出求數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，這是遞推公式的特點(diǎn)．
（2）的解答需要利用公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2進(jìn)行代換，要注意n=1和n≥2的討論，在得到a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，可以設(shè)an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列；
（3）的解答需要在代換后，適當(dāng)?shù)淖冃�，利用不等式放縮法進(jìn)行放縮．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）?a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²?a₂=0；
當(dāng)n=3時(shí)，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³?a₃=2；
綜上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化簡(jiǎn)得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化為：an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]
故數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

(-1)1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
故an+

2

3

(-1)n=

1

3

2n-1∴an=

1

3

•2n-1-

2

3

(-1)n=

2

3

[2n-2-(-1)n]
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=

2

3

[2n-2-(-1)n]．
（3）由已知得：

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23-1

++

1

2m-2-(-1)m

]=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]=

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+]＜

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+

1

20

+]=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

[

4

3

+

2

5

-

2

5

•

1

2m-5

]=

13

15

-

1

5

•(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

．
故

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

（m＞4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的遞推數(shù)列較為典型，對(duì)公式an=

s1，n=1 sn-sn-1

，n≥2的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，要能熟練的應(yīng)用．另外本題（2）中對(duì)構(gòu)造數(shù)列的考查較好，（3）中不等式證明中的放縮是一個(gè)難點(diǎn)，需要有扎實(shí)的基本功及一定的運(yùn)算能力，對(duì)運(yùn)算放縮能力要求較高．