Question

提高大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車(chē)流
速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)50輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為30千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)50＜x≤200時(shí)，車(chē)流速度v與車(chē)流密度x滿(mǎn)足．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0千米/小時(shí)．                  
（Ⅰ）當(dāng)0<x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：
輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

(1) ．
(2)當(dāng)車(chē)流密度為138 輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/千米時(shí)。

解析試題分析：(1) 由題意：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，v(x)＝30；
當(dāng)50≤x≤200時(shí)，由于，
再由已知可知，當(dāng)x＝200時(shí)，v(0)＝0，代入解得k＝2000.
故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為． 6分
(2) 依題意并由(1)可得，
當(dāng)0≤x≤50時(shí)，f(x)＝30x，當(dāng)x＝50時(shí)取最大值1500. 　 當(dāng)50<x≤200時(shí)，

取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，f(x)取最大值．
（這里也可利用求導(dǎo)來(lái)求最大值）
綜上，當(dāng)車(chē)流密度為138 輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/千米時(shí)。
考點(diǎn)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，利用均值定理求函數(shù)的最值。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，作為函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，確定函數(shù)解析式是其一個(gè)基本要求，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，確定最值，往往可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)或“均值定理”。應(yīng)用“均值定理”，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。