Question

2．若有函數(shù)y=2sin （2x+$\frac{π}{3}$）
（1）指出該函數(shù)的對稱中心；
（2）指出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若自變量x$∈（0，\frac{π}{4}）$，求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)想圖象及性質(zhì)可得答案．

解答 解：函數(shù)y=2sin （2x+$\frac{π}{3}$）
（1）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，
可得：x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$
∴對稱中心坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{5π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，
∴單調(diào)遞增區(qū)間是[$-\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．
令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{7π}{12}+kπ$．
∴單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{7π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（3）∵x$∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）
∴sin （2x+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
則f（x）的值域（1，2]．

點評 本題考了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用．屬于基礎(chǔ)題．