Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點求證：
（1）直線EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證直線EF∥平面PCD，只需證明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD?平面PCD即可．
（2）連接BD，證明BF⊥AD．說明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后證明平面BEF⊥平面PAD．
解答：證明：（1）在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD．
又因為EF不在平面PCD中，PD?平面PCD
所以直線EF∥平面PCD．
（2）連接BD．因為AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．
因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因為BF?平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面平行，平面與平面的垂直的證明方法，考查空間想象能力，邏輯推理能力，常考題型．