Question

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）我們把使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“成功數(shù)”，則在區(qū)間（1，2012）內(nèi)的所有成功數(shù)的和為（　�。�

A．1024

B．2003

C．2026

D．2048

Answer 1

分析：由題意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)，若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），則在（1，2012）內(nèi)的所有整數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），
則在（1，2012）內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴所求的“成功數(shù)”的和為：
2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2
=（2²+2³+2⁴+…+2¹⁰）-2×9
=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義“成功數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題．