設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于任意的n∈N+an,Sn,an2成等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且bn=
lnnx
an2
,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈(1,e](e是自然對(duì)數(shù)的底)和任意正整數(shù)n,Tn小于的最小正整數(shù)為( 。
分析:根據(jù)題意,可得2Sn=an+an2①與2Sn-1=an-1+an-12②成立,①-②得2an=an+an2-an-1-an-12,可以化簡(jiǎn)為an-an-1=1(n≥2),進(jìn)而可得{an}是公差為1的等差數(shù)列,由對(duì)數(shù)的性質(zhì),分析可得對(duì)任意x∈(1,e],有0<lnx<1,而an=n,則總有bn=
lnnx
an2
1
n2
,用放縮法和裂項(xiàng)相消法,可得Tn的范圍,進(jìn)而得到答案.
解答:解:根據(jù)題意,對(duì)于任意n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列,則對(duì)于n∈N*,總有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12,即an+an-1=(an+an-1)(an-an-1);
∵an,an-1均為正數(shù),
∴an-an-1=1(n≥2)
∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,
又n=1時(shí),2S1=a1+a12,解得a1=1
∴an=n.(n∈N*
對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1,e],有0<lnx<1,
對(duì)于任意正整數(shù)n,總有bn=
lnnx
an2
1
n2
,
∴Tn≤
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
<1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n
=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
(n-1)
-
1
n
=2-
1
n
<2
對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(1,e](e是常數(shù),e=2.71828…)和任意正整數(shù)n,總有Tn<2
故Tn小于的最小正整數(shù)為2
故選B
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式,其中對(duì)于Tn范圍的解答,一般用放縮法,使用時(shí),注意適當(dāng)放縮,否則不會(huì)得到證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:an2=2Sn-an
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數(shù),n∈N*)試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),Sn是其前n項(xiàng)和,且對(duì)任意n∈N*都有an2=2Sn-an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(2n+1)2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),bn=log2an,若數(shù)列{bn}滿足b2=0,bn+1=bn+log2p,其中p為正常數(shù),且p≠1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí),a1•a4•a7•…•a3n-2>a16恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若p=2,設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*,都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立,問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列?若是,請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式;若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),它的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an,Sn)在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
,其前n項(xiàng)和為Tn
(1)求an;   
(2)求證:Tn-2n<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•江蘇一模)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn,對(duì)于任意正整數(shù)m,n,Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1
恒成立.
(1)若a1=1,求a2,a3,a4及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a4=a2(a1+a2+1),求證:數(shù)列{an}成等比數(shù)列.

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